Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

（1）若k＞0且函数f（x）在区间（k，k+

3

4

）上存在极值，求实数k的取值范围
（2）如果存在x∈[2，+∞），使得不等式f(x)≤

a

x+2

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

-lnx

x2

=0，得x=1，再由

k＜1 k＞0 k+ 3 4 ＞0

，能求出实数k的取值范围．
（2）a≥

(x+2)(1+lnx)

x

=（1+

2

x

）（1+lnx），设g（x）=（1+

2

x

）（1+lnx），则g′(x)=

x-2lnx

x2

，再设h（x）=x-2lnx，则h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，坆g′（x）＞0，g（x）增．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

1+lnx

x

，
∴f′(x)=

1+lnx

x

，
由f′(x)=

-lnx

x2

=0，得x=1，
由条件

k＜1 k＞0 k+ 3 4 ＞1

，
解得

1

4

＜k＜1．
（2）∵a≥

(x+2)(1+lnx)

x

=（1+

2

x

）（1+lnx），
设g（x）=（1+

2

x

）（1+lnx），
g′(x)=

x-2lnx

x2

，
再设h（x）=x-2lnx，h′(x)=1-

2

x

≥0，
∴h（x）增，h（x）≥h（2）＞0，
∴g′（x）＞0，g（x）增．
∴g（x）≥g（2）=2（1+ln2），
∴a≥2+2ln2．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．