题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）证明函数 $数学公式$ 在（0，+∞）上是减函数．

解：（1）要使函数 $\text{[math]}$ 的解析式有意义
自变量应满足x≠0
故f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
由于 $\text{[math]}$ ≠0，则 $\text{[math]}$ -2≠-2
故f（x）的值域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁＞0，x₂＞0，x₂-x₁＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=（ $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故函数 $\text{[math]}$ 在（0，+∞）上是减函数
分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，我们易求出函数的解析式，根据反比例函数的性质，我们易求出函数的值域；
（2）任取区间（0，+∞）上两个任意的实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，我们作差f（x₁）-f（x₂），并判断其符号，进而根据函数单调性的定义，可得到结论．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，函数的值域，其中熟练掌握基本初等函数的定义域，值域，及函数单调性的证明方法是解答本题的关键．

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