Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a-1）x-a1nx．
（l）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＜0，若对任意x₁、x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＞4|x₁-x₂|，求实数a的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）+（a-1）x，A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））为g（x）图象上任意两点，x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，AB的斜率为k，g′（x）为g（x）的导函数，当a＞0时，求证：g′（x₀）＞k．

Answer 1

分析 （1）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，得增区间，由导数小于0，得减区间；
（2）由条件结合（1），可得F（x）=f（x）-4x在（0，+∞）递增，由F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+3）x-a1nx，
F′（x）=x-（a+3）-$\frac{a}{x}$≥0对x∈（0，+∞）恒成立，运用参数分离，求得右边函数的最小值即可；
（3）求出g（x）的导数，运用两点的斜率公式和作差法可得g′（x₀）-k═$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$），
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，t＞1，h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，运用导数判断单调性，即可得证．

解答 （1）解：f′（x）=x-（a-1）-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-a）（x+1）}{x}$（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，f′（x）＞0，解得x＞a，f′（x）＜0，解得0＜x＜a，
即有f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增；
当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（2）解：a＜0时，f（x）在（0，+∞）递增，
设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）＜f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＞4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）＞4（x₂-x₁）
?f（x₂）-4x₂＞f（x₁）-4x₁，
设F（x）=f（x）-4x，则F（x）在（0，+∞）递增，
由F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+3）x-a1nx，
F′（x）=x-（a+3）-$\frac{a}{x}$≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即为
a≤$\frac{{x}^{2}-3x}{x+1}$对x∈（0，+∞）恒成立．
令t=x+1，t＞1，y=$\frac{{t}^{2}-5t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-5≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$-5=-1，
当且仅当t=2即x=1时，取得等号，
则x=1，y取最小值-1．
即有a≤-1；
（3）证明：g（x）=f（x）+（a-1）x=$\frac{1}{2}{x^2}$-a1nx（x＞0），
g′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
设0＜x₁＜x₂，则k=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-aln{x}_{1}-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}+aln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-$\frac{a（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
g′（x₀）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
g′（x₀）-k=$\frac{a（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（lnx₂-lnx₁-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$）
=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$），
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，t＞1，h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
h（t）在（1，+∞）递增，t＞1，则h（t）＞h（1）=0，
即有ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$＞0，又$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，
则有g′（x₀）-k＞0，即g′（x₀）＞k．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，运用参数分离和构造函数，运用导数判断单调性是解题的关键．