Question

设函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意x∈（0，1]都有f(x)≤

k

x

成立，求实数k的取值范围；
（3）若对任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求a，b，c的值，可由函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2转化为方程解出a，b，c的值；
（2）若对任意x∈（0，1]都有f(x)≤

k

x

成立，求实数k的取值范围，可转化为对任意x∈（0，1]都有xf（x）≤k，下转化为求函数xf（x）在（0，1]的最大值，判断出参数的取值范围问题；
（3）若对任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求实数m的取值范围，可先将问题转化为

m≥-x2- 16 x +6 m≤-x2+ 16 x +6

对任意x∈（0，3]恒成立，求出参数m的取值范围来．

解答：解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∵a（-x）³+b（-x）+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0．                                       （2分）
又f（x）在x=1处的切线方程为y=3x+2，
由f'（x）=3ax²+b，
∴f'（1）=3，且f（1）=5，
∴

3a+b=3 a+b=5

得

a=-1 b=6

．                        （5分）
（2）f（x）=-x³+6x，
依题意-x3+6x≤

k

x

对任意x∈（0，1]恒成立，
∴-x⁴+6x²≤k对任意x∈（0，1]恒成立，…（7分）
即  k≥-（x²-3）²+9对任意x∈（0，1]恒成立，
∴k≥5．                                         （9分）
（3）|f（x）-mx|≤16，即-16≤f（x）-mx≤16，
∴

-x3+6x-mx≤16 -x3+6x-mx≥-16

，
即

m≥-x2- 16 x +6 m≤-x2+ 16 x +6

对任意x∈（0，3]恒成立，（11分）
记g(x)=-x2-

16

x

+6，其中x∈（0，3]，则 g′(x)=-2x+

16

x2

=-

2

x2

(x3-8)．
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）在（0，2）上单调递增，
当x∈（2，3）时，g'（x）＜0，g（x）在（2，3）上单调递减，
∴g（x）在（0，3]上的最大值是g（2）=-6，则m≥-6．    （13分）
记h(x)=-x2+

16

x

+6，
其中x∈（0，3]，则 h′(x)=-2x-

16

x2

＜0，
所以 h（x）在（0，3）上单调递减，
∴即h（x）在（0，3]上的最小值是h(3)=

7

3

，则m≤

7

3

；（16分）
综上，可得所求实数m的取值范围是[-6，

7

3

]．（18分）

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第三小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．