Question

（2007•天津一模）如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求点B到平面A₁C₁CA的距离；
（2）求二面角B-A₁D-A的大小；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直棱柱的定义结合线面垂直的性质与判定，证出BC⊥平面A₁C₁CA，从而BC长即为B点到平面A₁C₁CA的距离，结合题意得到点B到平面A₁C₁CA的距离为2；
（2）分别以AB、CA、CC₁为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得C、B、A、C₁、B₁、A₁、D和E点的坐标，从而得到

BD

、

BA1

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组解出

n

=（1，-1，2）是平面A₁BD的一个法向量，结合

m

=（1，0，0）是平面ACC₁A₁的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角B-A₁D-A的大小；
（3）设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD，利用（2）的结论得此时

n

∥

FE

，算出

EF

=(1，-y，2)并利用向量平行的条件解出y=1，从而得到存在线段AC的中点F，使得EF⊥平面A₁BD．

解答：解：（1）∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱住，
∴CC₁⊥底面ABC，结合BC?底面ABC，可得CC₁⊥BC
∵AC⊥CB，AC、CC₁是平面A₁C₁CA内的相交直线
∴BC⊥平面A₁C₁CA…（2分）
可得BC长即为B点到平面A₁C₁CA的距离
结合BC=2可得点B到平面A₁C₁CA的距离为2…（4分）
（2）∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱住，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点
∴分别以AB、CA、CC₁为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），
B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）…（6分）
∴

BD

=

(-2，0，1)， BA1 =(-2，2，2)

设平面A₁BD的法向量为

n

=（1，λ，μ）
可得

n• BD =0 n• BA1 =0

，即

-2+μ=0 -2+2λ+2μ=0

，解之得λ=-1、μ=2
∴

n

=（1，-1，2）…（8分）
又∵

m

=（1，0，0）是平面ACC₁A₁的一个法向量，
∴由cos＜

m

，

n

＞=

1

6

=

6

6

，可得二面角B-A₁D-A的大小为arccos

6

6

…（10分）
（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，y，0）使得EF⊥平面A₁BD…（11分）
根据（2）的结论可知，当且仅当

n

∥

FE

时EF⊥平面A₁BD，…（12分）
∵

EF

=(1，-y，2)，可得y=1…（13分）
∴存在唯一的一个点F（0，1，0），即AC中点满足条件
综上所述，存在线段AC的中点F，使得EF⊥平面A₁BD…（14分）

点评：本题在三棱柱中求点到平面的距离、证明线面垂直并求二面角的大小．着重考查了直棱柱的性质、利用空间向量的方法探索线面垂直和求面面角等知识，属于中档题．