Question

（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

   （1）求圆的方程；

   （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解析：（1）设圆C的圆心为(m, n)(m<0,n>0)，依题意有解得

        所求的圆的方程为                  …………6分

(2)由已知可得∴                                   …………8分

∴椭圆的方程为,右焦点为F(4, 0);                    …………10分

     从而以F为圆心，FO为半径的圆的方程为(x 4) 2 + y 2 = 16；     …………12分

     又CF=2<4 + 2，所以圆F与圆C交于两个不同的点；

所以圆C上存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，

易知点Q与原点关于CF对称，所以O关于CF：x + 3y 4=0的对称点为Q(x0, y0)

则，所以Q点的坐标为.…………16分