Question

17．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{2}{xlna}$（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的极值；
（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用方程组思想，求出f（x）的解析式，再利用导数，求f（x）的极值；
（2）构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）+2f（$\frac{1}{x}$）=log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{2}{xlna}$①
∴f（$\frac{1}{x}$）+2f（x）=-log_ax+$\frac{1}{xlna}$+$\frac{2x}{lna}$，②
由①②可得f（x）=-log_ax+$\frac{x}{lna}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{xlna}$+$\frac{1}{lna}$=0，
∴x=1，
a＞1时，x=1取得极小值$\frac{1}{lna}$；0＜a＜1时，x=1取得极大值$\frac{1}{lna}$；
（2）设h（x）=-log_ax+$\frac{x}{lna}$+$\frac{1}{xlna}$-$\frac{1}{lna}$，
则h′（x）=-$\frac{1}{xlna}$+$\frac{1}{lna}$-$\frac{1}{{x}^{2}lna}$=$\frac{{x}^{2}-x-1}{{x}^{2}lna}$，
a＞1时，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$取得极小值，h（x）≥h（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）＞0，∴f（x）＞f′（x）；
0＜a＜1时，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$取得极大值，h（x）≤h（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）＜0，∴f（x）＜f′（x）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题．