题目内容
设函数y=f（x）=x2-bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=-1对称．又y=f（x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=
|．
（1）求b及k的值；
（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：
+
+
≤
．
| 10 |
（1）求b及k的值；
（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：
| sinα |
| 1+sin2α |
| sinβ |
| 1+sin2β |
| sinγ |
| 1+sin2γ |
| 9 |
| 10 |
分析：（1）已知函数y=f（x）=x2-bx+1，根据偶函数的性质，f（-x）=f（x），求出b值，设方程x2+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=
，可以求出k值；
（2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥
恒成立，可以转化为
≤
（2x-x2），利用此不等式进行放缩，从而进行证明；
| 10 |
（2）由（1）可知，将f（x）和g（x）代入F（x），对F（x）进行求导，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥
| 50 |
| 27 |
| x |
| 1+x2 |
| 27 |
| 50 |
解答：解：（1）由已知，y=f（x）=x2-bx+1为偶函数，所以b=0； …（2分）
设方程x2+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=
得：
|x1-x2|=
=
=
解得k=-1； …（4分）
（2）由（1）知f（x）=x2+1，g（x）=-x+2，故F（x）=f（x）g（x）=-x3+2x2-x+2，
由F′（x）=-3x2+4x-1=0，解得x1=1，x2=
，…（6分）
列表如下：
所以，函数F（x）在区间[0，1]上的最小值为f（
）=
； …（10分）
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥
恒成立，
所以
≤
（2-x），有
≤
（2x-x2），…（12分）
当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时，
+
+
≤
[2（sinα+sinβ+sinγ）-（sin2α+sin2β+sin2γ）
=
[2-(sin2α+sin2β+sin2γ)] …（14分）
又1=（sinα+sinβ+sinγ）2≤3（sin2α+sin2β+sin2γ），
∴sin2α+sin2β+sin2γ≥
，
∴
+
+
≤
（2-
）=
，
当且仅当sinα=sinβ=sinγ=
时，等号成立．…（16分）
设方程x2+1=kx+2的两根为x1，x2，由|AB|=
| 10 |
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| (1+k2)(k2+4) |
| 10 |
解得k=-1； …（4分）
（2）由（1）知f（x）=x2+1，g（x）=-x+2，故F（x）=f（x）g（x）=-x3+2x2-x+2，
由F′（x）=-3x2+4x-1=0，解得x1=1，x2=
| 1 |
| 3 |
列表如下：
| x | 0 | （0，
|
|
（
|
1 | ||||||
| F′（x） | - | + | |||||||||
| F（x） | 2 | 减函数 |
|
增函数 | 2 |
| 1 |
| 3 |
| 50 |
| 27 |
（3）由（2）知，当x∈[0，1]时，有不等式（1+x2）（2-x）≥
| 50 |
| 27 |
所以
| 1 |
| 1+x2 |
| 27 |
| 50 |
| x |
| 1+x2 |
| 27 |
| 50 |
当sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1时，
| sinα |
| 1+sin2α |
| sinβ |
| 1+sin2β |
| sinγ |
| 1+sin2γ |
| 27 |
| 50 |
=
| 27 |
| 50 |
又1=（sinα+sinβ+sinγ）2≤3（sin2α+sin2β+sin2γ），
∴sin2α+sin2β+sin2γ≥
| 1 |
| 3 |
∴
| sinα |
| 1+sin2α |
| sinβ |
| 1+sin2β |
| sinγ |
| 1+sin2γ |
| 27 |
| 50 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 10 |
当且仅当sinα=sinβ=sinγ=
| 1 |
| 3 |
点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值问题，解题的过程中用到了转化的思想，第三问难度比较大，需要用到前两问的结论，是一道难题，同学们要认真做好笔记；
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