题目内容

【题目】已知f(x)=xlnx,g(x)= ,直线l:y=(k﹣3)x﹣k+2
(1)函数f(x)在x=e处的切线与直线l平行,求实数k的值
(2)若至少存在一个x0∈[1,e]使f(x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围
(3)设k∈Z,当x>1时f(x)的图象恒在直线l的上方,求k的最大值.

【答案】
(1)解:∵f′(x)=1+lnx,

∴f′(e)=1+lne=k﹣3

∴k=5,


(2)解:由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),

ax02>x0lnx0

∴a>

设h(x)=

则h′(x)=

当x∈[1,e]时,h′(x)≥0(仅当x=e时取等号)

∴h(x)在[1,e]上单调递增,

∴h(x)min=h(1)=0,因此a>0


(3)解:由题意xlnx>(k﹣3)x﹣k+2在x>1时恒成立

即k<

设F(x)=

∴F′(x)=

令m(x)=x﹣lnx﹣2,则m′(x)=1﹣ = >0在x>1时恒成立

所以m(x)在(1,+∞)上单调递增,且m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0,

所以在(1,+∞)上存在唯一实数x0(x0∈(3,4))使m(x)=0

当1<x<x0时m(x)<0即F′(x)<0,

当x><x0时m(x)>0即F′(x)>0,

所以F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,

F(x)min=F(x0)= = =x0+2∈(5,6)

故k<x0+2又k∈Z,所以k的最大值为5


【解析】(1)先求导,根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可.(2)由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),则kx0>2lnx0a> ,只需要k大于h(x)= 的最小值即可.(3)分离参数,得到k< ,构造函数,求函数的最小值即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网