Question

【题目】如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；

（1）求MN的长；
（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？

Answer 1

【答案】
（1）解：延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．

∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，

∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且 = ，

可得MN∥EF且MN= EF，

∵EF为△BCD的中位线，可得EF= BD，

∴MN= BD=2

（2）解：由（1）可得位置改变，长度不改变．
【解析】（1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得 = ，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．
【考点精析】本题主要考查了棱锥的结构特征的相关知识点，需要掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方才能正确解答此题．