题目内容

计算：
（1）已知 $数学公式$ ，求sinα-cosα的值．
（2）求函数y=cos²x-2sinx+3的最大值及相应x的集合．

解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＜α＜π），
∴sinα+cosα= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＜α＜π），
∴sin（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ＜α＜π，
∴ $\text{[math]}$ ＜α+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴cos（α+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，
∴sinα-cosα=- $\text{[math]}$ cos（α+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；
（2）∵y=cos²x-2sinx+3
=5-（sinx+1）²，
∴当sinx=-1，即x=2kπ- $\text{[math]}$ （k∈Z）时，
y_max=5，
∴函数y=cos²x-2sinx+3取到最大值5时，x的集合为{x|x=x=2kπ- $\text{[math]}$ （k∈Z）}．
分析：（1）利用诱导公式可将sin（π-α）-cos（π+α）= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＜α＜π）转化为sinα+cosα= $\text{[math]}$ ，可得sin（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，从而可求cos（α+ $\text{[math]}$ ），于是进一步可得sinα-cosα的值；
（2）将y=cos²x-2sinx+3转化为：y=5-（sinx+1）²，可求得其最大值及相应x的集合．
点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查复合三角函数的单调性，掌握三角公式与正弦函数的性质是解决问题的基础，属于中档题．