Question

计算：
（1）已知sin(π-α)-cos(π+α)=

2

3

(

π

2

＜α＜π)，求sinα-cosα的值．
（2）求函数y=cos²x-2sinx+3的最大值及相应x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式可将sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

（

π

2

＜α＜π）转化为sinα+cosα=

2

3

，可得sin（α+

π

4

）=

1

3

，从而可求cos（α+

π

4

），于是进一步可得sinα-cosα的值；
（2）将y=cos²x-2sinx+3转化为：y=5-（sinx+1）²，可求得其最大值及相应x的集合．

解答：解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=

2

3

（

π

2

＜α＜π），
∴sinα+cosα=

2

3

（

π

2

＜α＜π），
∴sin（α+

π

4

）=

1

3

，又

π

2

＜α＜π，
∴

3π

4

＜α+

π

4

＜

5π

4

，
∴cos（α+

π

4

）=-

2 2

3

，
∴sinα-cosα=-

2

cos（α+

π

4

）=-

2

×（-

2 2

3

）=

4

3

；
（2）∵y=cos²x-2sinx+3
=5-（sinx+1）²，
∴当sinx=-1，即x=2kπ-

π

2

（k∈Z）时，
y_max=5，
∴函数y=cos²x-2sinx+3取到最大值5时，x的集合为{x|x=x=2kπ-

π

2

（k∈Z）}．

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查复合三角函数的单调性，掌握三角公式与正弦函数的性质是解决问题的基础，属于中档题．