题目内容

(2013•江西)椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.
分析:(1)由题目给出的离心率及a+b=3,结合条件a2=b2+c2列式求出a,b,则椭圆方程可求;
(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N三点共线解出N点坐标,
由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m-k化简整理即可得到2m-k为定值.
解答:(1)解:因为e=
c
a
=
3
2
,所以
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
3
4
,即a2=4b2,a=2b.
又a+b=3,得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=k(x-2) (k≠0,k≠±
1
2
)

联立
y=k(x-2)
x2
4
+y2=1
,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0.
所以xP+2=
16k2
4k2+1
xP=
8k2-2
4k2+1

yP=k(
8k2-2
4k2+1
-2)=
-4k
4k2+1

所以P(
8k2-2
4k2+1
-4k
4k2+1
).
又直线AD的方程为y=
1
2
x+1

联立
y=k(x-2)
y=
1
2
x+1
,解得M(
4k+2
2k-1
4k
2k-1
).
由三点D(0,1),P(
8k2-2
4k2+1
-4k
4k2+1
),N(x,0)共线,
-4k
4k2+1
-1
8k2-2
4k2+1
-0
=
0-1
x-0
,所以N(
4k-2
2k+1
,0
).
所以MN的斜率为m=
4k
2k-1
-0
4k+2
2k-1
-
4k-2
2k+1
=
4k(2k+1)
2(2k+1)2-2(2k-1)2
=
2k+1
4

2m-k=
2k+1
2
-k=
1
2

所以2m-k为定值
1
2
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题.
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