题目内容
(2013•江西)椭圆C:
+
=1(a>b>0)的离心率e=
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值.
分析:(1)由题目给出的离心率及a+b=3,结合条件a2=b2+c2列式求出a,b,则椭圆方程可求;
(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N三点共线解出N点坐标,
由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m-k化简整理即可得到2m-k为定值.
(2)设出直线方程,和椭圆方程联立后解出P点坐标,两直线方程联立解出M点坐标,由D,P,N三点共线解出N点坐标,
由两点求斜率得到MN的斜率m,代入2m-k化简整理即可得到2m-k为定值.
解答:(1)解:因为e=
=
,所以
=
=
,即a2=4b2,a=2b.
又a+b=3,得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为
+y2=1;
(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=k(x-2) (k≠0,k≠±
).
联立
,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0.
所以xP+2=
,xP=
.
则yP=k(
-2)=
.
所以P(
,
).
又直线AD的方程为y=
x+1.
联立
,解得M(
,
).
由三点D(0,1),P(
,
),N(x,0)共线,
得
=
,所以N(
,0).
所以MN的斜率为m=
=
=
.
则2m-k=
-k=
.
所以2m-k为定值
.
c |
a |
| ||
2 |
c2 |
a2 |
a2-b2 |
a2 |
3 |
4 |
又a+b=3,得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程为
x2 |
4 |
(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=k(x-2) (k≠0,k≠±
1 |
2 |
联立
|
所以xP+2=
16k2 |
4k2+1 |
8k2-2 |
4k2+1 |
则yP=k(
8k2-2 |
4k2+1 |
-4k |
4k2+1 |
所以P(
8k2-2 |
4k2+1 |
-4k |
4k2+1 |
又直线AD的方程为y=
1 |
2 |
联立
|
4k+2 |
2k-1 |
4k |
2k-1 |
由三点D(0,1),P(
8k2-2 |
4k2+1 |
-4k |
4k2+1 |
得
| ||
|
0-1 |
x-0 |
4k-2 |
2k+1 |
所以MN的斜率为m=
| ||||
|
4k(2k+1) |
2(2k+1)2-2(2k-1)2 |
2k+1 |
4 |
则2m-k=
2k+1 |
2 |
1 |
2 |
所以2m-k为定值
1 |
2 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题.
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