Question

已知函数.
(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围；
(Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)当时，，；当且时，，.

试题分析：(Ⅰ)利用函数在上是增函数可知在恒成立，从而确定的取值范围；(Ⅱ)先求出，然后分和两类进行讨论，从而得出函数在上的最大值和最小值.注意化归转化和分类讨论的数学思想方法的运用.
试题解析：(Ⅰ)解:由题设可得，因为函数在上是增函数，
所以,当时，不等式即恒成立----2分
因为,当时，的最大值为，则实数的取值范围是-----4分
(Ⅱ) 解: ，，
所以,     6分
（1）若,则，在上, 恒有，所以在上单调递减
，    7分
(2) 时
（i）若，在上,恒有，所以在上单调递减，

    10分
（ii)时，因为，所以，，所以，
所以在上单调递减

    12分
综上所述：当时，，；
当且时，，.    13分