题目内容
已知A、B分别为曲线C:
(1)若曲线C为圆,M为圆弧

(2)设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点,若O、N、P三点共线,求a的值.
【答案】分析:(1)若曲线C为圆,根据M为圆弧
的三等分点,可求出M点坐标,则直线AM方程就可求出,在与x=1联立,就可求出P点坐标.
(2)先设出M(x,y),可求出直线AM方程,再于直线x=a联立,即可得P点坐标,进而求出直线OP,BM方程,因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点,且O、N、P三点共线可得OP⊥BM,得到两直线斜率的关系,即可解出a的值.
解答:解:(1)当曲线C为圆时,a=1.
由M为圆弧
的三等分点,知∠BOM=60°或120°
当∠BOM=60°时,在△PAB中,∠PAB=60°,AB=2,PB=ABtan30°=
∴P(1,
)
同理,当∠BOM=120°时,P(1,
)
(2)∵A(-a,0),B(a,0),设M(x,y)
则lAM:y=
(x+a),∴P(a,
)
lOP:y=
x,lBM=
(x-a)
∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点.∴OP⊥BM
∴kOP•kBM=-1
即
=-1,得,2y2=a2-x2,即
①
又∵点M在曲线C上,∴
②
由①②解得a=
点评:本题考查了直线与圆,与椭圆的位置关系,做题时应细心,避免答错.

(2)先设出M(x,y),可求出直线AM方程,再于直线x=a联立,即可得P点坐标,进而求出直线OP,BM方程,因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点,且O、N、P三点共线可得OP⊥BM,得到两直线斜率的关系,即可解出a的值.
解答:解:(1)当曲线C为圆时,a=1.
由M为圆弧

当∠BOM=60°时,在△PAB中,∠PAB=60°,AB=2,PB=ABtan30°=

∴P(1,

同理,当∠BOM=120°时,P(1,

(2)∵A(-a,0),B(a,0),设M(x,y)
则lAM:y=


lOP:y=


∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点.∴OP⊥BM
∴kOP•kBM=-1
即



又∵点M在曲线C上,∴

由①②解得a=

点评:本题考查了直线与圆,与椭圆的位置关系,做题时应细心,避免答错.

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