题目内容

已知A、B分别为曲线C:+y2=1(a>0)与x轴的左、右两个交点,直线l过点B且与x轴垂直,P为l上异于点B的点,连接AP与曲线C交于点M.
(1)若曲线C为圆,M为圆弧的三等分点,试求点P的坐标;
(2)设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点,若O、N、P三点共线,求a的值.
【答案】分析:(1)若曲线C为圆,根据M为圆弧的三等分点,可求出M点坐标,则直线AM方程就可求出,在与x=1联立,就可求出P点坐标.
(2)先设出M(x,y),可求出直线AM方程,再于直线x=a联立,即可得P点坐标,进而求出直线OP,BM方程,因为N是以BP为直径的圆与线段BM的交点,且O、N、P三点共线可得OP⊥BM,得到两直线斜率的关系,即可解出a的值.
解答:解:(1)当曲线C为圆时,a=1.
由M为圆弧的三等分点,知∠BOM=60°或120°
当∠BOM=60°时,在△PAB中,∠PAB=60°,AB=2,PB=ABtan30°=
∴P(1,
同理,当∠BOM=120°时,P(1,
(2)∵A(-a,0),B(a,0),设M(x,y
则lAM:y=(x+a),∴P(a,
lOP:y=x,lBM=(x-a)
∵O、N、P三点共线且N是以BP为直径的圆与线段BM的交点.∴OP⊥BM
∴kOP•kBM=-1
=-1,得,2y2=a2-x2,即
又∵点M在曲线C上,∴
由①②解得a=
点评:本题考查了直线与圆,与椭圆的位置关系,做题时应细心,避免答错.
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