Question

已知A，B 分别为曲线C：+y²=1（y≥0，a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C于点T．
（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；
（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由曲线C为半圆时得到a=1，再由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°，再对每一种情况下利用解三角的方法分别求点S的坐标即可；
（II）先把直线AS的方程与曲线方程联立，求出点T的坐标以及k_BT，进而求得k_SM；以及直线SM的方程，再利用O在直线SM上即可求出a的值．
解答：解：（Ⅰ）当曲线C为半圆时，a=1，
由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°．┉┉（1分）
（1）当∠BOT=60°时，∠SAE=30°．
又AB=2，故在△SAE中，有SB=AB•tan30°=，∴s（1，）；┉┉（3分）
（2）当∠BOT=120°时，同理可求得点S的坐标为（1，2），
综上，s（1，）或s（1，2）．┉┉（5分）
（Ⅱ）假设存在a，使得O，M，S三点共线．
由于点M在以SB为直径的圆上，故SM⊥BT．
显然，直线AS的斜率k存在且K＞0，可设直线AS的方程为y=k（x+a）
由⇒（1+a²k²）x²+2a³k²x+a⁴k²-a²=0．
设点T（x_T，y_T），则有，
故x_T=⇒，故T（，）
又B（a，0）∴k_BT==-，k_SM=a²k．
由⇒S（a，2ak），所直线SM的方程为y-2ak=a²k（x-a）
O，S，M三点共线当且仅当O在直线SM上，即2ak=a²k（-a）．
又a＞0，k＞0⇒a=，
故存在a=，使得O，M，S三点共线．
点评：本题主要考查直线和圆相切，直线的方程，三点共线和圆的几何性质等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．