Question

9．函数f（x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$是（　　）

• A． 偶函数
• B． 奇函数
• C． 非奇非偶函数
• D． 既是奇函数又是偶函数

Answer 1

分析 求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义进行判断．

解答 解：由$\sqrt{1+{x}^{2}}$+x+1≠0，
得$\sqrt{1+{x}^{2}}$≠-x-1，若-x-1＜0，即x＞-1时，成立，
若x=-1时，$\sqrt{2}≠0$也成立，
若-x-1＞0，即x＜-1时，
平方得1+x²≠（-1-x）²
即 1+x²≠1+2x+x²
即x≠0，此时不成立，
即函数的定义域为（-∞，+∞），
则f（-x）=$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}-x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}-x+1}$=$\frac{[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]}{[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x-1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]}$=$\frac{[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x-1）]•[\sqrt{1+{x}^{2}}-（x+1）][\sqrt{1+{x}^{2}}+（x+1）]}{2x[\sqrt{1+{x}^{2}}+（x+1）]•}$
=$\frac{-2x•（\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1）}{2x•（\sqrt{1+{x}^{2}+x+1}）}$=-$\frac{\sqrt{1+{x}^{2}}+x-1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x+1}$=-f（x），
故函数为奇函数，
故选：B

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数的奇偶性的定义是解决本题的关键．考查学生的运算能力．