Question

在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．若F是AC的中点，连接PF，EF．
（1）求证：AC⊥平面PEF．
（2）求直线PC与平面PAB所成的角的大小．

Answer 1

分析：在这个“折叠问题”中，要把握好不变的长度关系、线线关系、线面关系，
（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．由于点E为点P在平面ABC上的正投影，则PE⊥平面ABC，因此；只要再证AC⊥PF垂直即可；
（Ⅱ）要求线面角：即要找到过C与面PAB垂直的直线，由（1）知PE⊥平面ABC，则PE⊥BC，又有BC⊥AB，则BC⊥平面PAB，∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角；再利用直角三角形中的边角关系即可求出线面角的大小．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=1
∴AB=

BC

tan30°

=

3

，AC=2，∠DAC=60°．
∴AD=CD=AC=2…（2分）
∵PA=PC，∴PF⊥AC．…（4分）
∵点E为点P在平面ABC上的正投影，∴PE⊥平面ABC∴PE⊥AC…（6分）
∵PF∩PE=P．PF?平面PEF，PE?平面PEF，∴AC⊥平面PEF…（7分）
（2）∵PE⊥平面ABC∴PE⊥BC…（8分）
∵BC⊥AB，PE∩AB=E，PE?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB∴∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．…（10分）
在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，∴sin∠CPB=

BC

PC

=

1

2

．…（12分）
∵0°＜∠CPB＜90°，∴∠CPB=30°．
∴直线PC与平面PAB所成的角为 30°…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力