Question

在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=

1

2

AB=a（如图），将△ADC沿AC折起，使D到D′．记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为γ．

（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图），求二面角β-BC-γ的大小；

（2）若二面角α-AC-β为60°（如图），求三棱锥D′-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）欲求二面角β-BC-γ的大小，只需求它的平面角的大小，先根据二面角α-AC-β为直二面角，只需过D′作AC的垂线，就垂直于β，找到β的垂线，再利用三垂线法找到二面角β-BC-γ的平面角，把其放入直角三角形中，解三角形即可．
（2）欲求三棱锥D′-ABC的体积，只需找到它的底面与高，因为三角形ABC的面积易求，所以只需求出D′到平面ABC的距离即可，由（1）可知，即求线段D′E的长度，可放入三角形中，通过解三角形得到，这样，三棱锥体积可求．

解答：解：（1）在直角梯形ABCD中，
由已知△DAC为等腰直角三角形，
∴AC=

2

a，∠CAB=45°
过C作CH⊥AB，由AB=2a，
可推得AC=BC=

2

a
∴AC⊥BC
取AC的中点E，连接D′E，
则D′E⊥AC
又∵二面角α-AC-β为直二面角，
∴D′E⊥β
又∵BC?平面β
∴BC⊥D′E
∴BC⊥α，而D′C?α，
∴BC⊥D′C
∴∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角．
由于∠D′CA=45°，
∴二面角β-BC-γ为45°．
（2）取AC的中点E，连接D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，
连接OE，
∵AC⊥D′E，
∴AC⊥OE
∴∠D′EO为二面角α-AC-β的平面角，
∴∠D′EO=60°
在Rt△D′OE中，D′E=

1

2

AC=

2

2

a，
∴VD-ABC=

1

3

S△ABC•D′O，
=

1

3

×

1

2

AC•BC•D′O
=

1

6

×

2

a×

2

a×

6

4

a
=

6

12

a3

点评：本题考查了二面角的求法，以及三棱锥体积的求法，做题时要认真分析，正确解答．