题目内容
已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
.
(1)求点M轨迹C的方程;
(2)若过点D(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F,试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).
1 | 2 |
(1)求点M轨迹C的方程;
(2)若过点D(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F,试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).
分析:(1)设出点M的坐标,写出直线AM、BM的斜率,由斜率之积为-
列式求M得轨迹方程;
(2)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积,把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差,然后代入根与系数关系,换元后利用基本不等式求最值.
1 |
2 |
(2)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积,把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差,然后代入根与系数关系,换元后利用基本不等式求最值.
解答:解:(1)设点M的坐标为(x,y),
∵kAM•kBM=-
,∴
•
=-
.
整理得,
+y2=1(x≠0);
(2)由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+2.
联立
,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
由△=64k2-4×6(2k2+1)>0,解得k2>
.
设E(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
,x1x2=
.
S△OEF=S△OED-S△OFD=
OD|x1|-
OD|x2|=
OD|x1-x2|=
×2|x1-x2|=|x1-x2|
=
=
=
=
.
令k2-
=t(t>0),所以k2=t+
(t>0).
则S△OEF=
=
=2
=2
≤2
=
.
所以S△OEF∈(0,
].
∵kAM•kBM=-
1 |
2 |
y+1 |
x |
y-1 |
x |
1 |
2 |
整理得,
x2 |
2 |
(2)由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+2.
联立
|
由△=64k2-4×6(2k2+1)>0,解得k2>
3 |
2 |
设E(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=
-8k2 |
2k2+1 |
6 |
2k2+1 |
S△OEF=S△OED-S△OFD=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
(x1+x2)2-4x1x2 |
(
|
|
|
令k2-
3 |
2 |
3 |
2 |
则S△OEF=
|
|
|
|
|
| ||
2 |
所以S△OEF∈(0,
| ||
2 |
点评:本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了利用基本不等式求最值,利用根与系数关系解题是该类问题常用的方法,此题有一定难度.

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