题目内容

已知点A、B的坐标分别是(0,-1)、(0,1),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积为-
12

(1)求点M轨迹C的方程;
(2)若过点D(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F,试求△OEF面积的取值范围(O为坐标原点).
分析:(1)设出点M的坐标,写出直线AM、BM的斜率,由斜率之积为-
1
2
列式求M得轨迹方程;
(2)设出直线l的方程,和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程,利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积,把△OEF的面积转化为△OED与△OEF的面积的差,然后代入根与系数关系,换元后利用基本不等式求最值.
解答:解:(1)设点M的坐标为(x,y),
kAMkBM=-
1
2
,∴
y+1
x
y-1
x
=-
1
2

整理得,
x2
2
+y2=1(x≠0)

(2)由题意知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+2.
联立
y=kx+2
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.
由△=64k2-4×6(2k2+1)>0,解得k2
3
2

设E(x1,y1),B(x2,y2),
x1+x2=
-8k2
2k2+1
x1x2=
6
2k2+1

S△OEF=S△OED-S△OFD=
1
2
OD|x1|-
1
2
OD|x2|=
1
2
OD|x1-x2|=
1
2
×2|x1-x2|=|x1-x2|

=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(
-8k2
2k2+1
)2-4•
6
2k2+1
=
16k2-24
(2k2+1)2
=
16(k2-
3
2
)
(2k2+1)2

k2-
3
2
=t(t>0)
,所以k2=t+
3
2
(t>0)

S△OEF=
16t
(2t+4)2
=
4t
(t+2)2
=2
t
t2+4t+4
=2
1
t+
4
t
+4
≤2
1
4+4
=
2
2

所以S△OEF∈(0,
2
2
]
点评:本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,考查了数学转化思想方法,训练了利用基本不等式求最值,利用根与系数关系解题是该类问题常用的方法,此题有一定难度.
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