Question

8．△ABC中，BC=2，∠ABC=θ．
（Ⅰ）若cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，AB=5，求AC的长度；
（Ⅱ）若∠BAC=$\frac{π}{6}$，AB=f（θ），求f（θ）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦的倍角公式求出cosθ，由余弦定理即可求AC的长度；
（Ⅱ）求出角C的大小，根据正弦定理表示出f（θ），根据三角函数的性质即可取出f（θ）的最值．

解答 解：（Ⅰ）若cos$\frac{θ}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则cosθ=2cos²$\frac{θ}{2}$-1=2×（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）²-1=$\frac{3}{5}$，
∵AB=5，BC=2，
∴由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosθ=25+4-2×5×2×$\frac{3}{5}$=17，
故AC=$\sqrt{17}$．
（Ⅱ）若∠BAC=$\frac{π}{6}$，AB=f（θ），
则C=π-$\frac{π}{6}$-θ=$\frac{5π}{6}$-θ，
则由正弦定理得$\frac{AB}{sin（\frac{5π}{6}-θ）}$=$\frac{BC}{sin\frac{π}{6}}$，
即AB=f（θ）=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$•sin（$\frac{5π}{6}$-θ）=4sin（$\frac{5π}{6}$-θ），
则当$\frac{5π}{6}$-θ=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$时，
f（θ）取得最大值，最大值为4．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．