Question

11．（两选一）
（1）一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○…
问：到2006个圆中有61 个实心圆．
（2）如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

Answer 1

分析 （1）本题可依次解出空心圆个数n=1，2，3，…，圆的总个数．再根据规律，可得出前2006个圆中，实心圆的个数；
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解即可．

解答 解：（1）∵n=1时，圆的总个数是2；
n=2时，圆的总个数是5，即5=2+3；
n=3时，圆的总个数是9，即9=2+3+4；
n=4时，圆的总个数是14，即14=2+3+4+5；
…；
∴n=n时，圆的总个数是2+3+4+…+（n+1）．
∵2+3+4+…+62=1952＜2006，2+3+4+…+63=2015＞2006，
∴在前2006个圆中，共有61个实心圆．
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…，a_n-a_n-1=n
累加得 a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=$\frac{（n-1）（n+1）}{2}$
∴a_n=$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$
故答案为：61；$\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$．

点评 本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．