Question

已知曲线C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）与函数=y=lnx及函数y=e^x的图象分别交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁²+x₂²的值为

9

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，如图．利用于函数=y=lnx和函数y=e^x是互为反函数，其函数=y=lnx及函数y=e^x的图象关于直线y=x对称，曲线C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）也是关于直线y=x对称，从而曲线C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）与函数=y=lnx及函数y=e^x的图象的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也关于直线y=x对称，得出x₂=y₁．再根据A（x₁，y₁）在圆弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，即可得出答案．

解答：解：画出图形，如图．
由于函数=y=lnx和函数y=e^x是互为反函数，故函数=y=lnx及函数y=e^x的图象关于直线y=x对称，从而曲线C：x²+y²=9（x≥0，y≥0）与函数=y=lnx及函数y=e^x的图象的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）也关于直线y=x对称，
∴x₂=y₁．
又A（x₁，y₁）在圆弧x²+y²=9（x≥0，y≥0）上，
x₁²+y₁²=9，即x₁²+x₂²=9．
故答案为：9．

点评：本小题主要考查函数对称性的应用、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．