Question

4．已知函数f（x）=lg（x²-ax+a）的值域为R，命题p：函数f（x）的图象可能关于y轴对称，命题q：函数f（x）的图象经过定点．
（1）判断命题￢p，p∨q，p∧q的真假；
（2）若函数f（x）与g（x）=lgx的图象恰有两个交点，求实数a的取值范围；
（3）若函数H（x）=f（x）+f（$\frac{1}{x}$）在[3，+∞）上递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以判断a=0时，f（x）为偶函数，从而图象关于y轴对称，并且可求出f（1）=0，从而说明p，q都是真命题，这样即可判断￢p，p∨q，p∧q的真假；
（2）先根据f（x）的值域为R，便有△=a²-4a≥0，这样可得到a≤0，或a≥4，并且可以看出，要使得f（x）和g（x）的图象恰有两个交点，则需x²-（a+1）x+a=0有两个不同的正根，从而a要满足$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{a+1＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数a的取值范围；
（3）首先要使函数f（x）和f（$\frac{1}{x}$）有意义，从而有x²-ax+a＞0和$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}+a＞0$都恒成立，这样即可得出$4≤a＜\frac{9}{2}$，然后求导数：$f′（x）和f′（\frac{1}{x}）$，容易说明$f′（x）＞0，f′（\frac{1}{x}）＞0$，从而说明4$≤a＜\frac{9}{2}$时，满足函数H（x）在[3，+∞）上单调递增，这样便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lgx²，显然为偶函数，∴图象关于y轴对称；
∴命题p为真命题；
f（1）=lg1=0，∴f（x）的图象过定点（1，0）；
∴命题q为真命题；
∴￢p为假，p∨q为真，p∧q为真；
（2）f（x）的值域为R；
∴△=a²-4a≥0；
∴a≤0，或a≥4；
f（x）与g（x）的图象恰有两个交点；
∴方程x²-ax+a=x恰有两个不同的正根；
即方程x²-（a+1）x+a=0恰有两个不同的正根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（a+1）^{2}-4a＞0}\\{a+1＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$；
解得a＞0，且a≠1；
∴a≥4；
∴实数a的取值范围为[4，+∞）；
（3）根据题意，x²-ax+a＞0   ①和$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{a}{x}+a＞0$   ②在[3，+∞）上恒成立；
∴由①得，$a＜\frac{{x}^{2}}{x-1}$，设h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，$h′（x）=\frac{{x}^{2}-2x}{（x-1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}-1}{（x-1）^{2}}＞0$；
∴h（x）在[3，+∞）上单调递增；
∴$h（x）≥h（3）=\frac{9}{2}$；
∴$a＜\frac{9}{2}$；
同样，由②得，a≥0；
由前面知，a≤0，或a≥4；
∴$4≤a＜\frac{9}{2}$；
$f′（x）=\frac{2x-a}{（{x}^{2}-ax+a）ln10}$，$f′（\frac{1}{x}）=\frac{1}{{x}^{3}}（ax-2）$；
根据x≥3，$4≤a＜\frac{9}{2}$；
∴f′（x）＞0，$f′（\frac{1}{x}）＞0$；
∴H′（x）＞0；
即满足H（x）在[3，+∞）上递增；
∴实数a的取值范围为$[4，\frac{9}{2}）$．

点评 考查真假命题的概念，偶函数的定义，1的对数等于0，对数函数的值域为R时，定义域的情况如何，一元二次方程实根的情况和判别式△的关系，以及韦达定理，根据导数符号判断函数的单调性，根据函数的单调性求函数的值域．