Question

（2010•浙江模拟）已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PC长为2，且PC⊥底面ABCD，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅱ）求点C到平面PDB的距离；
（Ⅲ）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（I）连接AC，由正方形对角线互相垂直，则已知中PC⊥面ABCD，我们易得BD⊥AE，BD⊥AC，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（II）点到平面的距离可以根据等体积法交线计算，即V_P-BCD=V_C-BPD，在换顶点求体积时应当换一个高与底面积都易求的顶点．
（III）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量再结合向量的有关运算计算出二面角的平面角的余弦值，进而求出角度．

解答：解：（Ⅰ） 不论点E在何位置，都有BD⊥AE                      …（1分）
证明：连接AC，由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．…（3分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．                …（5分）
（Ⅱ）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（7分）
设点C到平面PDB的距离为d，
∵V_P-BCD=V_C-BPD，
∴

1

3

S△BCD•PC=

1

3

S△BPD•dPD=PB=

5

，BD=

2

，
∴S△BPD=

3

2

，S△BCD=

1

2

∴d=

2

3

---------------------------（10分）
（Ⅲ）以点C为坐标原点，CD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：
则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
从而

DE

=(-1，0，1)，

DA

=(0，1，0)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

m

=(a，b，c)，

n

=(a′，b′，c′)
由法向量的性质可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，则a=1，b'=-1，
∴

m

=(1，0，1)，

n

=(0，-1，-1)
设二面角D-AE-B的平面角为θ，则 cosθ=

m • n

|m |•| n |

=-

1

2

∴θ=

π

3

．

点评：本题主要考查线面垂直、点到平面的距离与二面角的求法，解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，进而便于得到点、线、面的位置关系，也可以利用建立空间坐标系求解二面角、空间距离或者判定线面的位置关系．