Question

（2010•浙江模拟）设函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+m(x∈R)
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[

1

2

，

7

2

]？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，再结合周期的计算公式可得答案．
（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，由x的范围得：

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，进而求出函数f（x）的范围，再结合题意可得答案．

解答：解：（I）由题意可得：
f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，则sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（9分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+m+1∈[m，3+m]…（10分）
又∵f(x)∈[

1

2

，

7

2

]，解得  m=

1

2

…（13分）
∴存在实数m=

1

2

，使函数f（x）的值域恰为[

1

2

，

7

2

]…（14分）

点评：本题题考查三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的有关性质，两角和与差的正弦函数，二倍角公式，并且考查计算能力，是中档题型．