Question

11．若函数f（x）的图象从左到右先增后减，则称函数f（x）为“∩型”函数，图象的最高点的横坐标称为“∩点”．
（1）若函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2m}$（x²-1）为“∩型”函数，试求实数m的取值范围，并求出此时的“∩点”．
（2）若g（x）=x-lnx，试证明：$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析 （1）通过“∩型”函数的定义，分m＜0、m＞0两种情况讨论即可；
（2）通过令m=2，即f（x）=$lnx-\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，及f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上单减可得f（x）＜0，化简得$\frac{1}{lnx}＞2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}）$，累加即可．

解答 解：（1）$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{x}{m}=-\frac{{x}^{2}-m}{mx}$，
①当m＜0时，f′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时f（x）不是“∩型”函数；
②当m＞0时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表

x	$（0，\sqrt{m}）$	$\sqrt{m}$	$（\sqrt{m}，+∞）$
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

∴函数f（x）先增后减，即函数f（x）为“∩型”函数；
综上所述，当m＞0时，函数f（x）为“∩型”函数，“∩点”为$\sqrt{m}$．
（2）∵g（x）=x-lnx，∴k-g（k）=lnk，
∴$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）?$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
在f（x）中，令m=2，则f（x）=$lnx-\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，
由（1）知，f（x）在[$\sqrt{2}$，+∞）上为减函数，
∴当x≥2时，f（x）≤f（2）=$ln2-\frac{3}{4}$＜0，故$lnx＜\frac{1}{4}（{x}^{2}-1）$，
因此当x≥2时，$\frac{1}{lnx}＞\frac{4}{{x}^{2}-1}=2（\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}）$，
∴$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+…+$\frac{1}{lnn}$＞$2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$$+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$
=$2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$，
即$\sum_{k=2}^{n}$$\frac{1}{k-g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}-n-2}{n（n+1）}$（n∈N，n≥2）．

点评 本题考查新定义函数，函数的单调性，累加法，对表达式进行灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．