题目内容

已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,设bn=an•1gan,问是否存在a,对任意自然数n∈N*,数列{bn}中的每一项总小于它后面所有的项?若存在,求出a的取值范围;若不存在,则说明理由.
∵{an}是首项为a,公比为a的等比数列,
an=an,bn=an•1gan=nanlga,
bn+1=(n+1)an+1 lga
bn+1-bn=an[(n+1)a-n]lga
(1)当a>1时,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,
bnbn+1(n∈N*)
(2)当0<a<1时,lga<0,
当且仅当(n+1)a-n<0(n∈N*)时,
bnbn+1(n∈N*)
即当a<
n
n+1
(n∈N*)时,bn<bn+1(n∈N*),
而当n∈N*时,n+1≤2n,即
n
n+1
1
2

∴只要取a<
1
2

综上所述,当a的取值为(0,
1
2
)∪(1,+∞)时,
使得数列{bn}中的任一项都小于它后面各项.
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