Question

已知圆C：x²+y²=12，直线l：4x+3y=25．
（1）圆C的圆心到直线l的距离为

5

；
（2）圆C上任意一点P到直线l的距离大于2的概率为

5

6

．

Answer 1

分析：（1）根据所给的圆的标准方程，求出圆心，根据点到直线的距离公式，代入有关数据做出点到直线的距离．
（2）本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是300°，根据几何概型概率公式得到结果．

解答：解：（1）由题意知圆x²+y²=12的圆心是（0，0），
圆心到直线的距离是d=

25

32+42

=5，
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，
满足条件的事件是到直线l的距离大于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，
根据上一问可知圆心到直线的距离是5，
在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，如图所示，|CD|=3
根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到|CD|²+|AD|²=R²
又由R²=12，则|AD|=

3

，故∠ACD=30°，即∠ACB=60°
则符合条件的弧长对应的圆心角是300°
根据几何概型的概率公式得到P=

300°

360°

=

5

6

故答案为：5；

5

6

点评：本题考查点到直线的距离，考查直线与圆的位置关系，考查几何概型的概率公式．