题目内容
【题目】已知长度为
的线段
的两个端点
、
分别在
轴和
轴上运动，动点
满足
，设动点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）过点
且斜率不为零的直线
与曲线交于两点
、
，在轴上是否存在定点
，使得直线
与
的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）设
，
，
，由
，可得
由
，所以
代入即可求得椭圆方程；
（2）由题意设直线
的方程为：
，
，
，
将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得则
，因此存在两个定点
，
，使得直线
与
的斜率之积为常数，使得与的斜率之积为常数．
试题解析：（1）设，，，
由于，所以
，
即
，所以，
又，所以，从而
.
即曲线
的方程为：.
（2）由题意设直线的方程为：，，，
由
得：
，
所以
.
故
，
，
假设存在定点
，使得直线与的斜率之积为常数，则
.
当
，且
时，为常数，解得
.
显然当
时，常数为
；当
时，常数为
，
所以存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，当定点为时，常数为；当定点为时，常数为.
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