题目内容

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．
（Ⅰ） 设椭圆M的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
则有
a2-b2=1
1
a
=
2
2

解得
a=
2
b=1
，
∴椭圆M的方程为
x2
2
+y2=1
（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点
当k存在时，设PQ：y=k（x-2）
代入
x2
2
+y2=1整理得：（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2

∴y1y2=
2k2
1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y1y2+x1x2=0即
10k2-2
1+2k2
=0
解得：k=±
5
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所求直线PQ的方程为y=±
5
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(x-2)
练习册系列答案
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设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，
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2
），N（-
2
，
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2
），且抛物线与椭圆交于两点A（xA，yA）和B（xB，yB），且xA＜xB．
（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
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=0恒有公共点，试求m的取值范围．
已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为
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，且过点（
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2
3
，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l分别切椭圆C与圆M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．
设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x2-2y2=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

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