题目内容
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F与P（2，-1）关于直线l：x-y-2=0对称，中心在坐标原点的椭圆经过两点M（1，
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（1）求出抛物线方程与椭圆的标准方程；
（2）若直线l′与抛物线相切于点A，试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积；
（3）若（2）中直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
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分析：（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，因为椭圆经过两点M（1，
），N（-
，
），所以可得
由①与②消去m可得n=
，由此能求出抛物线方程与椭圆的标准方程．
（2）由
得y2+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），当y=1时，得x=±2，因为xA＜xB，所以A（-2，1），对y=
x2求导，得y′=
x，所以直线l′的方程为x+y+1=0，由此能求出直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积．
（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-
=0得（x-m）2+（y+1）2=
，其圆心坐标为（m，-1），半径r=
，要使直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤
，由此能求出m的取值范围．
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由①与②消去m可得n=
| 1 |
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（2）由
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| 1 |
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| 1 |
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（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-
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解答：解：（1）设椭圆的方程为mx2+ny2=1，
因为椭圆经过两点M（1，
），N（-
，
），
所以可得
由①与②消去m可得n=
，③
将③代入①得m=
，
故所求椭圆的标准方程为
+
=1．
抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，
），依题意得直线FP与直线l：x-y-2=0互相垂直，所以直线FP的斜率为-1，则kFP=
=-1，解得p=2，所以x2=4y．
（2）由
得y2+y-2=0，解得y=1或y=-2（不合题意，舍去），
当y=1时，得x=±2，因为xA＜xB，所以A（-2，1），对y=
x2求导，得y′=
x，所以y′|x=-2=-1，所以直线l′的方程为y-1=-1×（x+2），即x+y+1=0，令x=0得y=-1，令y=0得x=-1，所以直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积为S=
×|-1|×|-1|=
．
（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-
=0得（x-m）2+（y+1）2=
，其圆心坐标为（m，-1），半径r=
，
要使直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
=0恒有公共点，则需满足（m，-1）到直线l′：x+y+1=0的距离d≤
，即d=
≤
，得-
≤m≤
，
即m的取值范围为[-
，
]．
因为椭圆经过两点M（1，
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| 2 |
所以可得
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由①与②消去m可得n=
| 1 |
| 2 |
将③代入①得m=
| 1 |
| 8 |
故所求椭圆的标准方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
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抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，
| p |
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-1-
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| 2-0 |
（2）由
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当y=1时，得x=±2，因为xA＜xB，所以A（-2，1），对y=
| 1 |
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| 1 |
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| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）由x2-2mx+y2+2y+m2-
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要使直线l′与圆x2-2mx+y2+2y+m2-
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| |m-1+1| | ||
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即m的取值范围为[-
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点评：本题考查直线 与圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．
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