Question

设中心在坐标原点的椭圆M与双曲线2x²-2y²=1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的直线交椭圆M于P、Q两点，且满足OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（I）设出直线方程，利用椭圆的离心率公式及椭圆中三个参数的关系，列出方程组，求出a，b，c的值，即得到椭圆的方程．
（II）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到交点的坐标满足的关系，利用向量垂直的充要条件列出等式，求出直线的斜率，即得到直线的方程．

解答：解：（Ⅰ） 设椭圆M的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
则有

a2-b2=1 1 a = 2 2

解得

a= 2 b=1

，
∴椭圆M的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）当k不存在时，直线为x=2与椭圆无交点
当k存在时，设PQ：y=k（x-2）
代入

x2

2

+y2=1整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

∴y1y2=

2k2

1+2k2

∵OP⊥OQ，
∴y₁y₂+x₁x₂=0即

10k2-2

1+2k2

=0
解得：k=±

5

5

所求直线PQ的方程为y=±

5

5

(x-2)

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，一般讲直线的方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理找突破口．