题目内容
已知焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆C的离心率为| 4 |
| 5 |
10
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l分别切椭圆C与圆M：x2+y2=R2（其中3＜R＜5）于A、B两点，求|AB|的最大值．
分析：（Ⅰ）设出椭圆的方程，根据离心率及椭圆过点（
，1）求出待定系数，即得椭圆的方程．
（Ⅱ）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
10
| ||
| 3 |
（Ⅱ）用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，化简|AB|的解析式并利用基本不等式求出其最大值．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
+
=1(a＞b＞0)，则
=
，c=
a，
∴b2 = a2-c2=
a2，
∵椭圆过点(
，1)，∴
+
=1，解得 a2=25，b2=9，
故椭圆C的方程为
+
=1（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有
，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-
，②
由
．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-R2=0，
由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=-
，④
由②④得：x2-x1=
，由①③得：k2=
，（9分）
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2
=
•
=
•
= 25+ 9-R2-
≤34-
=34-30=4
即|AB|≤2，当且仅当R=
时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴b2 = a2-c2=
| 9 |
| 25 |
∵椭圆过点(
| |||
| 3 |
| ||
| a2 |
| 1 | ||
|
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，
直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，
从而有
|
由于直线与椭圆相切，
故△=（50kmx）2-4（25k2+9）×25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-
| 25k |
| m |
由
|
由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=-
| kR2 |
| m |
由②④得：x2-x1=
| k(25-R2) |
| m |
| R2-9 |
| 25-R2 |
∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2
=
| m2 |
| R2 |
| k2 (25-R2 ) |
| m2 |
| R2-9 |
| R2 |
| (25-R2)2 |
| 25-R2 |
| 225 |
| R2 |
≤34-
| 2 | R2×
| ||
即|AB|≤2，当且仅当R=
| 15 |
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用．
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