题目内容

三棱锥P-ABC,底面ABC为边长为2
3
的正三角形,平面PBC⊥平面ABC,PB=PC=2,D为AP上一点,AD=2DP,O为底面三角形中心.
(Ⅰ)求证DO∥面PBC;
(Ⅱ)求证:BD⊥AC;
(Ⅲ)求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.
分析:(Ⅰ)连接AO并延长交BC于点E,连接PE、DO,证明DO∥PE,利用直线与平面平行的判定定理直接证明DO∥面PBC;
(Ⅱ)通过证明AC⊥平面DOB,利用直线与平面垂直的性质定理证明BD⊥AC;
(Ⅲ)连接BO并延长交AC于点F,连接DF,则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体,利用体积公式求面DOB截三棱锥P-ABC所得的较大几何体的体积.
解答:(本小题满分12分)
证明:(Ⅰ)连接AO并延长交BC于点E,
连接PE、DO.--------------(1分)
∵O为正三角形ABC的中心,
∴AO=2OE,
又AD=2DP,∴DO∥PE,--------------(2分)
∵DO?平面PBC,PE?平面PBC--------------(3分)
∴DO∥面PBC.--------------(4分)
(Ⅱ)∵PB=PC,且E为BC中点,∴PE⊥BC,
又平面PBC⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.--------------(5分)
由(Ⅰ)知,DO∥PE,∴DO⊥平面ABC,
∴DO⊥AC--------------(6分)
连接BO,则AC⊥BO,
又DO∩BO=O,∴AC⊥平面DOB,--------------(7分)
∴AC⊥BD.--------------(8分)
(Ⅲ)连接BO并延长交AC于点F,连接DF,
则面DOB将三棱锥P-ABC截成三棱锥D-ABF和四棱锥B-DFCP两个几何体.--------------(9分)
VD-ABF=
1
3
×S△ABF×DO=
1
3
×
3
2
3
×
2
3
=
3
3
-----------(10分)
VP-ABC=
1
3
×S△ABC×PE=
1
3
×3
3
=
3
--------------(11分)
∴所截较大部分几何体的体积为
2
3
3
.--------------(12分)
点评:本题考查直线与平面平行的判定定理,直线与平面垂直的判定定理与性质定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力与计算能力.
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