题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为
,A、B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连结AQ并延长交过点B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.
(i)求证:点Q在以AB为直径的圆O上;
(ii)求证:OQ⊥NQ.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(1)求椭圆C的方程:
(2)设点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连结AQ并延长交过点B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.
(i)求证:点Q在以AB为直径的圆O上;
(ii)求证:OQ⊥NQ.
分析:(1)由椭圆C:
+
=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为
,可得
,解得即可;
(II)(i)由于点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,可得H(x0,0),Q(x0,2y0),
+
=1,得到4
=4-
.只要证明
•
=0即可;
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
(x+2),令x=2,解得yD=
,即可得到点D,N.只要证明
•
=0.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
|
(II)(i)由于点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,可得H(x0,0),Q(x0,2y0),
| ||
4 |
y | 2 0 |
y | 2 0 |
x | 2 0 |
AQ |
BQ |
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
2y0 |
x0+2 |
8y0 |
x0+2 |
OQ |
NQ |
解答:解:(1)∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为
,∴
,解得a=2,b=1,c=
.
∴椭圆C的方程为
+y2=1.
(2)(i)如图所示,∵点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,
∴H(x0,0),Q(x0,2y0),
+
=1,得到4
=4-
.
∵A(-2,0),B(2,0).
∴
•
=(x0+2,2y0)•(x0-2,2y0)=
-4+4
=
-4+4-
=0,
∴AQ⊥BQ.
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
(x+2),令x=2,解得yD=
,
∴D(2,
),∴N(2,
).
∴
•
=(x0,2y0)•(x0-2,
)=x0(x0-2)+
=
=0,
∴OQ⊥NQ.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
|
3 |

∴椭圆C的方程为
x2 |
4 |
(2)(i)如图所示,∵点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,
∴H(x0,0),Q(x0,2y0),
| ||
4 |
y | 2 0 |
y | 2 0 |
x | 2 0 |
∵A(-2,0),B(2,0).
∴
AQ |
BQ |
x | 2 0 |
y | 2 0 |
x | 2 0 |
x | 2 0 |
∴AQ⊥BQ.
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
2y0 |
x0+2 |
8y0 |
x0+2 |
∴D(2,
8y0 |
x0+2 |
4y0 |
x0+2 |
∴
OQ |
NQ |
2x0y0 |
x0+2 |
4
| ||
x0+2 |
x0(
| ||||
x0+2 |
∴OQ⊥NQ.
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中档坐标公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,属于难题.

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