题目内容

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2
,A、B为椭圆C的左、右顶点.
(1)求椭圆C的方程:
(2)设点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,连结AQ并延长交过点B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.
(i)求证:点Q在以AB为直径的圆O上;
(ii)求证:OQ⊥NQ.
分析:(1)由椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2
,可得
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得即可;
(II)(i)由于点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,可得H(x0,0),Q(x0,2y0),
x
2
0
4
+
y
2
0
=1
,得到4
y
2
0
=4-
x
2
0
.只要证明
AQ
BQ
=0即可;
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
2y0
x0+2
(x+2)
,令x=2,解得yD=
8y0
x0+2
,即可得到点D,N.只要证明
OQ
NQ
=0.
解答:解:(1)∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2
,∴
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得a=2,b=1,c=
3
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∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1

(2)(i)如图所示,∵点P(x0,y0)是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足,延长HP到点Q使得HP=PQ,
∴H(x0,0),Q(x0,2y0),
x
2
0
4
+
y
2
0
=1
,得到4
y
2
0
=4-
x
2
0

∵A(-2,0),B(2,0).
AQ
BQ
=(x0+2,2y0)•(x0-2,2y0)=
x
2
0
-4+4
y
2
0
=
x
2
0
-4+4-
x
2
0
=0,
∴AQ⊥BQ.
(ii)由(i)可得直线AQ:y=
2y0
x0+2
(x+2)
,令x=2,解得yD=
8y0
x0+2

∴D(2,
8y0
x0+2
)
,∴N(2,
4y0
x0+2
)

OQ
NQ
=(x0,2y0)•(x0-2,
2x0y0
x0+2
)
=x0(x0-2)+
4
y
2
0
x0
x0+2
=
x0(
x
2
0
-4)+x0(4-
x
2
0
)
x0+2
=0,
∴OQ⊥NQ.
点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中档坐标公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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