题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为
3
2
，A、B为椭圆C的左、右顶点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）设点P（x0，y0）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连结AQ并延长交过点B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．
（i）求证：点Q在以AB为直径的圆O上；
（ii）求证：OQ⊥NQ．
分析：（1）由椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为
3
2
，可得
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得即可；
（II）（i）由于点P（x0，y0）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，可得H（x0，0），Q（x0，2y0），
x
2
0
4
+
y
2
0
=1，得到4
y
2
0
=4-
x
2
0
．只要证明
AQ
•
BQ
=0即可；
（ii）由（i）可得直线AQ：y=
2y0
x0+2
(x+2)，令x=2，解得yD=
8y0
x0+2
，即可得到点D，N．只要证明
OQ
•
NQ
=0．
解答：解：（1）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为
3
2
，∴
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得a=2，b=1，c=
3
．精英家教网
∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1．
（2）（i）如图所示，∵点P（x0，y0）是椭圆C上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，
∴H（x0，0），Q（x0，2y0），
x
2
0
4
+
y
2
0
=1，得到4
y
2
0
=4-
x
2
0
．
∵A（-2，0），B（2，0）．
∴
AQ
•
BQ
=（x0+2，2y0）•（x0-2，2y0）=
x
2
0
-4+4
y
2
0
=
x
2
0
-4+4-
x
2
0
=0，
∴AQ⊥BQ．
（ii）由（i）可得直线AQ：y=
2y0
x0+2
(x+2)，令x=2，解得yD=
8y0
x0+2
，
∴D(2，
8y0
x0+2
)，∴N(2，
4y0
x0+2
)．
∴
OQ
•
NQ
=（x0，2y0）•(x0-2，
2x0y0
x0+2
)=x0(x0-2)+
4
y
2
0
x0
x0+2
=
x0(
x
2
0
-4)+x0(4-
x
2
0
)
x0+2
=0，
∴OQ⊥NQ．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中档坐标公式、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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