Question

【题目】已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) .（2） 或.

【解析】试题分析：（1）由条件知a=2b，,又,可得a,b，故得到E的方程；

（2）设出直线l的方程和点P的坐标，联立直线l与椭圆方程，当判别式大于0时，根据韦达定理得根与系数的关系得到的长。根据点到直线距离公式代入面积中，得到其关于k的表达式，根据换元法和基本不等式即可得到当面积取得最大值时k的值，即求得l的方程.

试题解析：(1) 设F(c,0)，由条件知a=2b，得,又，

所以a=2， ,故的方程.

（2）依题意当轴不合题意，故设直线l：y=kx-2，设

将y=kx-2代入，得，

当，即时，,

从而,

又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积

，

设，则t>0，，

当且仅当，等号成立，且满足，

所以当OPQ的面积最大时，

的方程为： 或.