题目内容
已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,其中BC=2AB=2PA=6,M,N为侧棱PC上的两个三等分点,如图所示.(1)求证:AN∥平面MBD;
(2)求异面直线AN与PD所成角的余弦值;
(3)求二面角M-BD-C的余弦值.
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【答案】分析:(1)连接AC交BD于O,连接OM,可得OM∥AN,再利用直线与平面平行的判定定理进行证明,即可解决问题;
(2)如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,写出各点的坐标,
,AN与PD的夹角就是异面直线AN与PD所成角,然后求出其余弦值.
(3)侧棱PA⊥底面ABCD,可得平面BCD的一个法向量为
,设平面MBD的法向量为m=(x,y,z),两个法向量的夹角就是二面角M-BD-C,然后再求出其余弦值.
解答:
(Ⅰ)证明:连接AC交BD于O,连接OM,
∵底面ABCD为矩形,
∴O为AC中点,(1分)
∵M、N为侧棱PC的三等分点,
∴CM=MN,
∴OM∥AN,(3分)
∵OM?平面MBD,AN不属于平面MBCD,
∴AN∥平面MBD.(4分)
(Ⅱ)如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2),
∵
,(5分)
∴
,(7分)
∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为
.(8分)
(Ⅲ)∵侧棱PA⊥底面ABCD,
∴平面BCD的一个法向量为
,(9分)
设平面MBD的法向量为m=(x,y,z),
∵
,并且
,
∴
,
令y=1得x=2,z=-2,
∴平面MBD的一个法向量为m=(2,1,-2).(11分)
(13分)
由图可知二面角M-BD-C的大小是锐角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值为
.(14分)
点评:此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面的夹角问题,此题建立直角坐标系比较简单,万一找不到面面角,用向量法求解也是可以的,这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题,同学们要课下要多练习.
(2)如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,写出各点的坐标,
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(3)侧棱PA⊥底面ABCD,可得平面BCD的一个法向量为
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解答:
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∵底面ABCD为矩形,
∴O为AC中点,(1分)
∵M、N为侧棱PC的三等分点,
∴CM=MN,
∴OM∥AN,(3分)
∵OM?平面MBD,AN不属于平面MBCD,
∴AN∥平面MBD.(4分)
(Ⅱ)如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2),
∵
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∴
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∴异面直线AN与PD所成角的余弦值为
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(Ⅲ)∵侧棱PA⊥底面ABCD,
∴平面BCD的一个法向量为
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设平面MBD的法向量为m=(x,y,z),
∵
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∴
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令y=1得x=2,z=-2,
∴平面MBD的一个法向量为m=(2,1,-2).(11分)
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由图可知二面角M-BD-C的大小是锐角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值为
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点评:此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面的夹角问题,此题建立直角坐标系比较简单,万一找不到面面角,用向量法求解也是可以的,这种做题思想要记住,此类立体几何题是每年高考必考的一道大题,同学们要课下要多练习.
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