Question

当x＞1时，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-∞，2]

B．[2，+∞）

C．[3，+∞）

D．（-∞，3]

Answer 1

分析：由题意当x＞1时，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，由于x+

1

x-1

的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．

解答：解：∵当x＞1时，不等式x+

1

x-1

≥a恒成立，
∴a≤x+

1

x-1

对一切非零实数x＞1均成立．
由于x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3，
当且仅当x=2时取等号，
故x+

1

x-1

的最小值等于3，
∴a≤3，
则实数a的取值范围是（-∞，3]．
故选D．

点评：本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+

1

x-1

的最小值是解题的关键．