Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]时，求函数f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象的横坐标伸长为原来的2倍，再将函数图象向上平移1个单位，得到函数y=g（x），求函数y=|g（x）|的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的解析式，求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解即可．
（Ⅱ）利用三角函数的图象变换求出函数的解析式，利用函数的单调性求解函数的单调性即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$--------（4分）
由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈$$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$x=-\frac{π}{12}，f（x）$的最小值为$-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，x=\frac{π}{3}$，
f（x）的最大值是0．--------（4分）
（Ⅱ）解：将函数y=f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$的图象的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=$sin（x-\frac{π}{6}）-1$，再将函数图象向上平移1个单位，得到函数y=g（x）=$sin（x-\frac{π}{6}）$，
即$g（x）=sin（x-\frac{π}{6}）$---------（3分）
y=|$sin（x-\frac{π}{6}）$|，由$kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$-------（2分）
得：增区间为$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]，k∈Z$-------（2分）

点评 本题考查三角函数的最值以及三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的变换，考查分析问题解决问题到哪里．