题目内容

已知二次函数f（x）=x2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 g(x)=x3-3tx+
1
2
t的定义域为[0，1]，值域为B．
（1）求f （x） 的定义域D和值域 A；
（2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数x0∈（0，1），使得函数 g(x)=x3-3tx+
1
2
t在[0，x0]上单调递减，在[x0，1]上单调递增，求实数t的取值范围并用t表示x0．
（3）（理） 是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（4）（文） 是否存在负实数t，使得A⊆B成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（5）（文） 若函数g(x)=x3-3tx+
1
2
t在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
分析：（1）由f（-x）+f（x）=2x2≤2|x|的解集为为[-1，1]可求函数定义域D结合二次函数的性质可求，值域A
（2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）可得3t＞x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02则 3t=3x02由x0∈（0，1）可求t的范围
（3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0，
t
]；g（x）的增区间为：[
t
，1]．
g（x）在 x=达到最小值．③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减可求t的范围
（4）（文） 即（3）（理） ①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
（5）（文） 类比 （2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）可得3t＞x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02则 3t=3x02由x0∈（0，1）可求t的范围
解答：解：（1）∵f（-x）+f（x）=2x2≤2|x|的解集为为[-1，1]
函数定义域D=[-1，1]值域 A=[-
1
4
，2]…（4分）
（2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）
∴x13-3tx1+
1
2
＞  x23-3tx2+
1
2

∴3t＞x12+x22+x1x2≥3x02                         …（6分）
同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02
所以 3t=3x02由x0∈（0，1）得t∈（0，1）…（10分）
（3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
 ①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[，1-
5
2
t]，
∴
t
2
≤-
1
4
且2≤1-
5
2
t，解得t≤-
1
2
，…（13分）
  ②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0，
t
]；g（x）的增区间为：[
t
，1]．
g（x）在 x=达到最小值．g(0)≥2或g(1)≥2；且g(
t
)≤-
1
4
此与0＜t＜1矛盾．          …（15分）
  ③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减，∴B=[1-
5
2
t，
t
2
]
∴
t
2
≥2且1-
5
2
t≤-
1
4
，即t≥4
综上所述：t的取值范围是：(-∞，-
1
2
]∪[4，+∞)…（18分）
（4）（文）  即（3）（理）①
  当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[，1-
5
2
t]，
∴
t
2
≤-
1
4
且2≤1-
5
2
t，解得t≤-
1
2
，（10分）
（5）（文） 类比 （2）（理）  得t≥1                                     …（18分）
点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法，及二次函数闭区间上的最值的求解，函数的单调性的应用，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理的能力及计算的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函数的图象经过原点，且满足f（2）=0，求实数m的值．
（Ⅱ）若函数在区间[2，+∞）上为增函数，求m的取值范围．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小值为g（k），求g（k）的解析式．
已知二次函数f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）若记区间[a，b]的长度为b-a．问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t？请对你所得的结论给出证明．
（2013•广州一模）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
（3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．
（1）已知二次函数f（x）的图象与x轴的两交点为（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函数f（x）的图象的顶点是（-1，2），且经过原点，求f（x）的解析式．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网