题目内容
已知椭圆
的离心率为
，直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于，垂足为点
，线段
的垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（3）设与
轴交于点
，不同的两点
在上（与也不重合），且满足
，求
的取值范围.
（1）
；（2）
；（3）
.
解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，利用直线与圆相切列出距离公式，求出椭圆中的基本量，比较简单；第二问，考查抛物线的定义，本问主要考查理解题意的能力；第三问，与向量相结合，再加上基本不等式求最值.
试题解析：（1）由直线与圆
相切，得
，即
.
由，得
，所以
，所以椭圆的方程是
. （4分）
（2）由条件，知
，即动点到定点的距离等于它到直线
的距离，由抛物线的定义得点的轨迹的方程是.（6分）
（3）由（2）知
，设
，
∴
由，得
，
∵
，∴
，
∴
，当且仅当
，即
时等号成立.
又
，
∵
，∴当
，即
时，
.
故的取值范围是.(12分)
考点：1.椭圆的标准方程；2.点到直线的距离公式；3.抛物线的定义；4.基本不等式.
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抛物线
的焦点均在
轴上，
的中心和
从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
的方程的点的坐标；
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆的离心率
．
的方程；（II）已知直线
与椭圆
，且与直线
相交于点
．求证：以线段
为直径的圆恒过定点
．
的准线过椭圆N：
的左焦点，以坐标原点为圆心，以t（t>0）为半径的圆分别与抛物线M在第一象限的部分以及y轴的正半轴相交于点A与点B，直线AB与x轴相交于点C.
，0），B（
，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为
.
过点F（1，0）且绕F旋转，
相交于P、Q两点，
求△
的面积的最大值和最小值（F′为轨迹C的左焦点）.
方程为
，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.
为椭圆的左右两个顶点，
为椭圆在第一象限内的一点，
为过点
且垂直
轴的直线，点
为直线
与直线
为以
为直径的圆与直线
的一个交点，求证：
三点共线.
中,点
到两点
的距离之和等于4,设点
,直线
与
两点.
，求
的值.
的对称轴上任一点
作直线与抛物线交于
、
两点，点Q是点P关于原点的对称点.
，证明：
；
，过