Question

已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q，则q的取值范围是

（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）

．

Answer 1

分析：设三边：a、aq、aq²、q＞0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q≥1和q＜1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得答案．

解答：解：设三边：a、aq、aq²、q＞0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得
（1）当q≥1时，aq²为最大边，a+aq＞aq²，等价于：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0两根为：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

∵q≥1，
∴1≤q＜

1+ 5

2

（2）当0＜q＜1时，a为最大边，aq+aq²＞a，即得q²+q-1＞0，解之得q＞

-1+ 5

2

或q＜-

1+ 5

2

∵0＜q＜1
∴1＞q＞

-1+ 5

2

综合（1）（2），得：q∈（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）
故答案为：（

-1+ 5

2

，

1+ 5

2

）

点评：本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．