题目内容

已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q，则q的取值范围是________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：设三边：a、aq、aq²、q＞0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q≥1和q＜1两种情况分别求得q的范围，最后综合可得答案．
解答：设三边：a、aq、aq²、q＞0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得
（1）当q≥1时，aq²为最大边，a+aq＞aq²，等价于：q²-q-1＜0，由于方程q²-q-1=0两根为： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，
故得解： $\text{[math]}$ ＜q＜ $\text{[math]}$
∵q≥1，
∴1≤q＜ $\text{[math]}$
（2）当0＜q＜1时，a为最大边，aq+aq²＞a，即得q²+q-1＞0，解之得q＞ $\text{[math]}$ 或q＜- $\text{[math]}$
∵0＜q＜1
∴1＞q＞ $\text{[math]}$
综合（1）（2），得：q∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
故答案为：（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
点评：本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．