Question

【题目】已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知定点,，过点的直线与曲线交于、两点 ，则直线与斜率之积是否为定值，若是求出定值；若不是请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）线与斜率之积为，理由见解析.

【解析】

（1）设动点，直线、的斜率之积为，化简计算可得曲线的方程；

（2）由已知直线过点，设的方程为，联立方程组，消去得 ，设、，利用韦达定理求解直线的斜率，化简整理即可求出．

（1）设动点，直线、的斜率之积为，

化简得，因此，曲线的方程为；

（2）由已知直线过点，设直线的方程为，设点、，

联立直线与曲线的方程，消去得 ，

，

由韦达定理得，，

所以，直线与斜率之积为.

故直线与斜率之积为定值，定值为.