Question

把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数．
（Ⅰ）若a_mn=2005，求m，n的值；
（Ⅱ）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=8ⁿx³（x＞0），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）三角形数表中前m行共有1+2+3++m=

m(m+1)

2

个数，第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第

m(m+1)

2

项．故第m行最后一个数是2•

m(m+1)

2

-1=m2+m-1．由此入手能够求出m，n的值；
（II）f^-1（x）=8ⁿx³=y（x＞0），x=(

1

2

)n

3	y

．故f(x)=(

1

2

)n

3	x

(x＞0)，第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，若将n²+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故bn=n(n2+n-1)+

n(n-1)

2

(-2)=n3．由此入手能够求出数列{f（b_n）}的前n项和S_n．

解答：解：（I）∵三角形数表中前m行共有1+2+3++m=

m(m+1)

2

个数，（1分）
∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第

m(m+1)

2

项．
故第m行最后一个数是2•

m(m+1)

2

-1=m2+m-1（2分）
因此，使得a_mn=2005的m是不等式m²+m-1≥2005的最小正整数解．
由m²+m-1≥2005得m²+m-2006≥0（3分）
∴m≥

-1+ 1+8024

2

＞

-1+ 7921

2

=

-1+89

2

=44∴m=45（4分）
于是，第45行第一个数是44²+44-1+2=1981（5分）
∴n=

2005-1981

2

+1=13（6分）
（II）∵f^-1（x）=8ⁿx³=y（x＞0），
∴x=(

1

2

)n

3	y

．故f(x)=(

1

2

)n

3	x

（x＞0）（7分）
∵第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，若将n²+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，
故b_n=n（n²+n-1）+

n(n-1)

2

(-2)=n3（9分）
∴f(bn)=(

1

2

)n

3	n3

=n(

1

2

)n（10分）
故S_n=

1

2

+2(

1

2

)2+3(

1

2

)3++(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n
∵

1

2

Sn=(

1

2

)2+2(

1

2

)3+3(

1

2

)4++(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1，（11分）
两式相减得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1（12分）
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1（13分）
∴Sn=2-(n+2)(

1

2

)n（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，解题时要认真审题，仔细仔细解答．