Question

把正奇数数列{2n-1}中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：
    1
  3    5
7    9   11
…
…
设a_mn（m，n∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第m行、从左往右数第n个数．
（1）若a_mn=2011，求m，n的值；
（2）若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求证

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜

5

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

个数，于是第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第

m(m+1)

2

项．故第m行最后一个数是2×

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．  因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整数解．解出即可得到m．于是，第45行第一个数是44²+44-1+2=1981，再利用等差数列的通项公式即可得出m．
（2）由于第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，所以若将n²+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故bn=n(n2+n-1)+

n(n-1)

2

×(-2)=n³．利用放缩法和裂项求和可得

1

bn

=

1

n3

＜

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，（n≥2）即可证明．

解答：解：（1）∵三角形数表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

个数，
∴第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第

m(m+1)

2

项．
故第m行最后一个数是2×

m(m+1)

2

-1=m²+m-1．    
因此，使得a_mn=1011的m是不等式m²+m-1≥2011的最小正整数解．
化为m²+m-2012≥0，∴m≥

-1+ 1+8048

2

＞

-1+ 7921

2

=

-1+89

2

=44，
∴m=45．
于是，第45行第一个数是44²+44-1+2=1981，
∴n=

2011-1981

2

+1=16．
∴m=45，n=16．
（2）∵第n行最后一个数是n²+n-1，且有n个数，
若将n²+n-1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，
故bn=n(n2+n-1)+

n(n-1)

2

×(-2)=n³．
∴

1

bn

=

1

n3

＜

1

(n-1)n(n+1)

=

1

2

[

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

]，（n≥2）
∴

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜1+

1

2

[(

1

1×2

-

1

2×3

)+(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)]
=1+

1

2

[

1

2

-

1

n(n+1)

]＜1+

1

4

=

5

4

．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式、一元二次不等式的解法、放缩法、裂项求和等是解题的关键．