题目内容
2．已知抛物线y2=4x上一点P在y轴上的射影为N，动点M在直线y=x+2上，则PM+PN的最小值为$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．分析 通过作抛物线的准线x=-1，过点P作x轴平行线交y轴、准线分别为N、Q点，通过抛物线定义可知PM+PN的最小值即为PF+PM-1的最小值即为抛物线焦点到直线y=x+2的距离减1，利用点到直线的距离计算即得结论．
解答 
解：依题意，作抛物线的准线x=-1，过点P作x轴平行线交y轴、准线分别为N、Q点，
记抛物线焦点F（1，0），连结PF、PM，
则点F到直线y=x+2的距离d=$\frac{|1-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由抛物线定义可知PF=PN+QN=PN+1，
于是PM+PN的最小值即为PF+PM-1的最小值，
通过图象可知PF+PM的最小值为d，
∴PM+PN的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1=$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}-2}{2}$．
点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数形结合能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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| C． | f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$） | D． | f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$ |
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| A． | am-an＜$\frac{1}{{2}^{n}}$ | B． | am-an＞$\frac{1}{{2}^{n}}$ | C． | am-an＜$\frac{1}{{2}^{m}}$ | D． | am-an＞$\frac{m-n}{2}$ |