Question

（1）已知M=

3 -2 2 -2

，a=[₄^-1]，试计算：M¹⁰α．
（2）已知圆C的参数方程为

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐标方程．

Answer 1

分析：（1）先根据特征多项式建立方程求出特征值，然后分别求出特征值所对应的一个特征向量，将向量

a

用两特征向量线性表示，最后利用矩阵与向量乘的意义进行求解；
（2）先将圆的参数方程化简成圆的标准方程，再利用圆心到直线的距离等于半径求出切线方程，再将由

y=ρsinθ x=ρcosθ

代入直线方程即可求得直线的极坐标方程．

解答：解：（1）矩阵M的特征多项式为：
f（λ）=λ²-λ-2=0，λ₁=-1，λ₂=2
λ₁=-1对应的一个特征向量为：

α1

=

1 2

，
λ₂=2对应的一个特征向量为：

α2

=

2 1

（4分）
设a=m

a1

+n

a2

，即

.

-1   4

.

=m

.

1   2

.

+n

.

2   1

.

，
∴

m+2n=-1 2m+n=4

解得

m=3 n=-2

（5分）
M10α=3(λ1)10

α1

+(-2)(λ2)10

α2

=3(-1)10

.

1   2

.

+（-2）10

.

2   1

.

=

.

-4093   -2042

.

或

3-212 6-211

（2）圆C的参数方程为

x= 3 +2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），?(x-

3

)2+y2=4（2分）
可得点P（0，1），圆C在点P（0，1）的切线为y=

3

x+1，（5分）
由

y=ρsinθ x=ρcosθ

得所求的切线的极坐标方程：ρsinθ-

3

ρcosθ=1．（7分）

点评：本题主要考查了特征值的应用，以及圆的参数方程和直线的极坐标方程等基础知识，属于基础题．