题目内容
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）定义：设f′′（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f′′（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=x3-6x2+5x+4，请回答下列问题．（1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标（2）检验函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论；
（3）写出一个三次函数G（x），使得它的“拐点”是（1，3）（不要过程）
分析：第一问通过对函数f（x）二次求导可求出拐点的坐标．第二问考查对称，求出对称点坐标，代入验证即可；第三问是开放型题目，只要满足条件即可．
解答：解：（1）依题意，得：f′（x）=3x2-12x+5，∴f′′（x）=6x-12=0，得x=2
所以拐点坐标是（2，-2）
（2）设（x1，y1）与（x，y）关于（2，-2）中心对称，并且（x1，y1）在f（x），所以就有
，
由y1=x13-6x12+5x1+4，得-4-y=（4-x）3-6（4-x）2+5（x-4）+4
化简的：y=x3-6x2+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）关于点（2，-2）对称．
三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-
，f（-
）），它就是函数f（x）的对称中心
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
（3），G（x）=a（x-1）3+b（x-1）2+3（a≠0），或写出一个具体函数，如G（x）=x3-3x2+3x+2，或G（x）=x3-3x2+5x
所以拐点坐标是（2，-2）
（2）设（x1，y1）与（x，y）关于（2，-2）中心对称，并且（x1，y1）在f（x），所以就有
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由y1=x13-6x12+5x1+4，得-4-y=（4-x）3-6（4-x）2+5（x-4）+4
化简的：y=x3-6x2+5x+4
所以（x，y）也在f（x）上，故f（x）关于点（2，-2）对称．
三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-
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| 3a |
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（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
（3），G（x）=a（x-1）3+b（x-1）2+3（a≠0），或写出一个具体函数，如G（x）=x3-3x2+3x+2，或G（x）=x3-3x2+5x
点评：本题主考查函数的拐点，对称性．考查学生利用导数解题的能力．一般的，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是（-
，f（-
）），它就是函数f（x）的对称中心（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）．
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| 3a |
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